一 | 悬而未决 87 年的经典数学难题——雅可比猜想（Jacobian Conjecture），可能被一个只有三行公式的反例推翻了。
□ 魏敬群
济南东护城河原响闸处旧影
东护城河原响闸处新建的水磨景点
水磨历史悠久。济南的水磨最早记载于元代。
7 月 20 日，数学家、Anthropic 研究人员 Levent Alpöge 在社交平台 X 公布了一个三元多项式映射。它满足了雅可比猜想要求的前提条件，却违背了猜想的结论，因此构成了一个可能推翻整个猜想的反例。
二 | 元代御史中丞、枢密副使许有壬在作于至元四年(1338年)的《圭塘小稿·林虑记游》中称：“历下所谓趵突者，清澈尤甚，土人疏导作堰，以激磑碾，为利甚大。”堰，挡水的低坝;磑，石磨。趵突泉水势汹涌，北流成河，当地百姓筑坝拦水，形成激流，让其推动石磨旋转，得以磨米磨面。 更引人关注的是，Alpöge 在帖子中将这一反例归功于 Anthropic 最新发布的 AI 模型 Claude Fable 5。
三 | 玉带河与护城河都有水磨 明代时德王府独霸水源 明代文学家、史学家王世贞《古今名园墅编序》载：“异时，宦游所经历，至济南，谒德藩，游真珠泉，泉东西可十余丈，南北三丈许，东一亭枕之其下。
四 | 瑟瑟群起，拍掌振履，则益起，纚纚而上，空明莹彻，与天日争彩，金鲤百头，小者亦可三尺。其西泉穿宫墙而出，为大池，皆以白石甃甓。
五 | 他还表示，是朋友 Akhil 首先向模型提出这一问题，而 Fable 5 则在他们观看世界杯决赛期间持续搜索，最终找到了这一反例构造。中有水殿，前后各五楹，彩鹢容与箫鼓四奏，王时劳赐殽醴，往往丙夜。 （来源：X） 消息发布后，数学界迅速展开核验。
六 | 又西为长沟，曲折以达后圃，芍药数百本。高楼踞之，泉出后宫墙为水碓水磨，以达大明湖，湖景尤自韶丽。斯坦福大学数学系助理教授 Jared Duker Lichtman 转发称这一结果“相当惊人”；MathOverflow 很快收录了相关讨论，不少研究者还利用 Wolfram Alpha、SymPy 等工具进行了独立计算。”从上述描写看出，真珠泉(珍珠泉)水面颇大，泉河可以行船(彩鹢)。珍珠泉、溪亭泉、散水泉等汇为玉带河，流出后宫墙。
七 | 河中有水碓和水磨。水碓是一种借水力舂米的工具。它的动力机械是一个大的立式水轮，轮上装有若干板叶，转轴上装有一些彼此错开的拨板，用来拨动碓杆。目前，最关键的两项验证：雅可比行列式是否恒为 −2，以及三个不同点是否确实映射到同一点，均已通过公开计算验证。
八 | 如果后续没有发现新的漏洞，这将意味着：1939 年提出的雅可比猜想在三维情形下不成立，并可进一步推出其在所有三维及以上维数下均不成立；而二维情形仍然保持开放。每个碓用柱子架起一根木杆，杆的一端装一块圆锥形石头。下面的石臼里放上准备加工的稻谷。流水冲击水轮使它转动，轴上的拨板拨动碓杆的梢，使碓头一起一落地进行舂米。 被称为“民科坟场”的雅可比猜想 雅可比猜想由德国数学家奥特－海因里希·凯勒（Ott-Heinrich Keller）于 1939 年提出，讨论的是一个看似简单、却困扰数学界近九十年的问题：什么时候，一个多项式映射一定能够"倒推"回原来的函数？ 图｜海因里希·凯勒（左）（来源：Wikipedia） 理解这个猜想，可以先想象一张橡胶膜。
九 | 如果局部看，每一小块都没有被撕裂或压扁，人们很自然会问：整张膜会不会在别的地方折叠起来，让两个不同的位置重合？ 数学里的情况与此类似。对于多变量多项式映射，如果它在每一个局部都满足一种“没有折叠”的条件，也就是雅可比行列式始终等于同一个非零常数。水磨是一种古老的磨面粉工具，主要由上下扇磨盘、转轴、水轮盘、支架构成。那么它是否一定在整体上也是一一对应的？它的逆映射又是否仍然是一个多项式？ 这就是雅可比猜想。
十 | 它的陈述只有短短几句话，却异常难以证明。上磨盘悬吊于支架上，下磨盘安装在转轴上，转轴另一端装有水轮盘，利用水流落差的冲击力为动力，冲击木轮转动从而带动石磨转动。磨盘旁凌空的两根木条上架着长方形的木质面罗，由摇臂推拉做水平运动，分离出面粉与麸皮。 济南不光玉带河有水磨，东护城河也有水磨。
十一 | 不少数学研究者戏称它为“crank graveyard”——“民科坟场”。许多人被它吸引，最终却陷入漫长而徒劳的推导之中。 著名华人数学家张益唐，就曾把整个博士阶段投入到这个问题。1991 年，他在普渡大学完成博士论文《雅可比猜想与域扩张的次数》，导师莫宗坚是国际上研究雅可比猜想最重要的学者之一。张益唐的工作推进了这一研究方向，却并没有解决猜想本身。后来，他离开代数几何，转向解析数论，并最终因证明有界素数间隔而闻名世界；雅可比猜想，则依然留在开放问题名单中。 1998 年，菲尔兹奖得主 Stephen Smale 将其列入著名的《下一个世纪的数学问题》（Mathematical Problems for the Next Century）第 16 题，认为它的解决将对数学发展产生重要影响。 过去近 90 年里，一维情形早已证明成立，二维至今仍未解决，而三维及更高维也始终没有答案。由于这一猜想要求所有维数都成立，因此，只要在任意一个维数找到反例，整个猜想就会被推翻。
十二 | 三个点，击穿一个猜想 而此次，Alpöge 公布的是一个从三维复空间到三维复空间的多项式映射： 直接计算可知，这个映射的雅可比行列式恒等于 −2。由于 −2 是一个非零常数，因此它完全满足雅可比猜想的前提条件。济南的泺水也叫泺河，由黑虎泉泉群和趵突泉泉群汇流而成，在城东者叫东泺河，在城西者叫西泺河，两河注入小清河。东、西护城河便各是东、西泺河的一段。明朝时，泺河上有听水闸、利田闸、护城闸等十几道闸门，“立闸潴蓄，用作灌溉……两岸新置石楗，扃用大木板，视水之高下盈缩，以时启闭，庶其绪前人之功，而有利于斯民也。 然而，当把三个不同的点 分别代入这一映射时，得到的结果却都是同一个点： 这足以构成反例。”(清卫既齐《五柳闸纪略》)石作楗库，插木为闸，调节水位，蓄以灌田，且有防汛排涝功能。原因很简单：如果多个不同的输入对应同一个输出，那么映射就不是单射。
十三 | 护城河第一闸是响闸，因水声而名。响闸一旦关闸蓄水，上下会产生一二米的落差，河水从闸上跌落，产生很大的冲击力，响声轰鸣。响闸位于东护城河中部，按察司东之城墙外。换句话说，当已知输出时，无法唯一确定原来的输入，因此它不可能拥有逆映射，更不可能拥有由多项式组成的逆映射。水磨就设在响闸处。这与雅可比猜想的结论正面冲突。附近居民很早就开发利用水力以代替人工，设有水碾、水磨、水碓、水排、水转纺车等，碾米、磨面、加工油料和农副产品。
十四 | 这个反例还具有极强的可核查性。许多重大数学成果往往需要专家花费数月甚至数年时间，逐页检查上百页证明；而这个结果的核心，仅涉及两项有限的代数计算：一是验证雅可比行列式恒等于非零常数，二是验证三个不同的点确实映射到了同一个点。 截至目前，这两项计算均已得到公开复核。研究者 Zihan Zhang 给出了独立的 SymPy 验证脚本，并指出，只需将其中一个输出坐标乘以 −1/2，就可以把雅可比行列式规范化为猜想中更常采用的常数 1，而这不会改变反例的本质。不料，明朝时却为豪强霸占。 如果这一反例最终成立，它不仅推翻三维情形，也意味着所有更高维情形都不再成立。因为只需在三维反例后增加若干保持不变的坐标，就可以直接构造出任意更高维的反例。不过，二维雅可比猜想仍然是一个独立的开放问题 值得补充的是，Levent Alpöge 并不是从 AI 领域半路进入数学，而是一位长期从事数论与算术几何研究的职业数学家。近年来，他才加入 Anthropic，从事人工智能研究。明代文士刘敕《历乘》载：“响闸，东城河，近中贵为水磨，以分其流，大损风气。 他本科毕业于哈佛大学，主修数学，并获得物理学硕士学位；随后在剑桥大学完成数学高级研究课程。2020 年，他在普林斯顿大学获得数学博士学位，导师是菲尔兹奖得主 Manjul Bhargava。
十五 | 图｜Levent Alpöge（来源：Quanta Magazine） 大型语言模型兴起后，Alpöge 开始转向人工智能。”中贵即中官、宦官，也指皇帝的宠臣、近亲。这里所说的中贵指德王。德王封藩济南，繁衍六代，仗着是皇帝近亲，给齐鲁百姓造成深重灾难。他曾在个人主页写道，GPT-4 让他认为人工智能是“人类创造过的最有意思的东西”，因此重新回到计算机科学领域，希望增加这场变化产生积极结果的可能性。德王府将响闸据为己有，碾米磨面，独享其利。附近百姓却守着一河碧水，失却灌溉和生活之便。
十六 | 由此看来，玉带河的水碓、水磨离德王府那么近，老百姓肯定也是无缘使用的。 清道光间，住在城东护城河边的济南知府吴振棫曾写《水磨》一诗：“筑石阑水水受矶，失势一落如溃围。水中大轮三十毂，冲激倏忽行如飞。 根据目前公开的信息，这次发现的大致过程是：Akhil 提出问题，Alpöge 将其交给 Claude Fable 5 进行探索，模型最终给出了具体的反例构造；随后，Alpöge 公开了这一构造，数学界再通过人工推导以及 Wolfram Alpha、SymPy 等工具进行了独立验证。 这一过程与 AI 替数学家写出一份传统意义上的数学证明有所不同。下轮上磑一柱贯，轮旋磑转无相违……雷风交奋出奇响，日月疾走无停机。”这里写水磨工作情形。筑坝蓄水，抬高水位，再提闸泄流，让河水以巨大的冲击力推动轮盘旋转，由此带动石磨转动。接着，吴振棫笔锋一转，重提德王府强占响闸旧事：“昔人豪横殖生产，妨民灌溉家自肥。对于否定一个猜想而言，并不需要解释所有可能情况，只需要找到一个满足前提、却违反结论的反例即可。今人生计嗟日微，搒掠聊免铅舂悲。
十七 | 这样的任务天然适合计算探索：模型可以不断尝试构造候选映射、调整参数、检查雅可比条件，再寻找是否会出现不同点映射到同一点的情况。”感叹世风不古，民生艰难。 如果这一反例最终得到确认，它带来的意义将十分重大。诗中还有“水声激激寒生衣，北方有此吾见稀”之句，是说在南方司空见惯的水磨，到北方却成稀少之物。
十八 | 南北之别，在于水之多寡也。 张含英在响闸建造山东第一座水电站 示范全省 1929年，山东省建设厅技正兼科长张含英(新中国成立后任水利电力部副部长)与技士九君森对响闸磨坊进行改建，建造闸坝、水道、电站，购进水轮机、发电机等设备，利用坝上坝下1.3米的水位差和每秒1.4立方米的河水流量，建成山东第一座示范性水力发电站。安装尼哥拉四叶式小轮水轮机一座，马力约为26匹。因为它展示了一种此前极少出现的研究模式：不是 AI 帮助数学家验证已经存在的思路，而是AI参与寻找一个人类 87 年来始终没有找到的数学对象。 从 AlphaGeometry 解决竞赛题，到 GPT、Gemini 参与证明具体命题，再到这一次可能找到推翻经典猜想的反例，大模型参与数学研究的角色正在发生变化。发电量14.7启罗瓦特(即千瓦)，电压为110至115伏。它开始探索的，不再只是“答案”，而是过去只有数学家才会进入的未知搜索空间。夜间供省建设厅、教育厅(位于山东按察司旧址)和教会建筑群用电，白天供附近居民磨面。1937年日寇侵占济南时，水电站被毁，后又恢复水磨、水碓等，成了粮食和农副产品加工厂。
十九 | 上世纪50年代，磨坊消失，响闸保留下来。 参考链接： 1.https://x.com/leventalpoge 2.https://mathoverflow.net/questions/513387/galois-structure-of-the-new-counterexample-to-the-jacobian-conjecture-an-explic 3.https://www.leventalpoge.com/ 4.https://dataspace.princeton.edu/ 5.https://www.ams.org/prizes-awards/ams-morgan-prize 运营/排版：何晨龙 注：封面由 AI 辅助生成。2009年末，为了护城河通航需要，市政府拆除了响闸。
| 但在响闸北面不远，新建水榭磨坊一景，里面有四个铜塑人物：一位在水磨旁忙碌的男青年，一个举着粮食口袋玩耍的男孩子，磨面的奶奶正唤他回家。
| 还有一位手拿卷筒图纸的书生——他就是当年的张含英。 小清河与绣江俱有多盘制香水磨 只是辉煌不再 水磨不仅可以加工粮食，也可以制香。过去，朝拜进香之风盛行，香的需求量很大。制香的原料是木屑，过去没有电锯，木屑都是由水磨碾压而成。清代本邑诗人朱令昭写有《香磨》一诗，诗前序曰：“激水转磨屑木作香料者也。
| ”诗云：“惊箭双流下，明波百尺开。银龙喷艳雪，铜鼓激晴雷。地轴时轮转，天香画下来。慎无摧伐尽，恐有栋梁材。”生动地描写了香磨的工作场面，并对浪费木材的行为颇有微词。小清河畔便有一处香磨集中的地方，名叫香磨李村。据说，明朝洪武年间，有位姓李的男子携妻从直隶枣强来到此地，结庐而居，打鱼为生。
| 后来，又有他姓人家迁徙至此。这里的住户多以磨香做香为业，他们在小清河中安装了多盘水磨，利用水流作动力，昼夜劳作。1928年《历城县乡土调查录》载：“制香业，三十六家，在洛(泺)口闸子一带。
| ”闸子又叫香闸。如今，这里早已无人以磨香为业，但为铭记香磨李的历史，这里建起圆形的石磨广场，在香磨李社区的一个圆顶小亭里，还放着小清河疏浚施工时发现的两具磨盘。 章丘的绣江河上不仅水磨多，而且体量大。《章丘文史资料》记载：“绣江河水磨始创于明正德年间，其事之缘起乃因明水镇有富户周八缸者(家中有银八缸，以之为名侈言其富)，为富不仁，勒索乡里，百姓怨之。山东按察使知其不仁，令其出银，沿绣江河两岸设水磨十八盘，使百姓用以磨面，不准取利，以此修善而赎前愆。但水磨维修一项，仍归周八缸支付，至穷无立锥，此制方废。”此后，人们开始用水磨碾磨树渣做香，带动了一方经济发展。清康熙年间章丘知县钟运泰的《绣江春涨》诗中，有“一天春卷千堆雪，三月晴轰两岸雷”之句，前一句写水磨磨木屑的情形，后一句写水磨转动的声响。
| 水磨大都建在绣江河的上游，清末民初的鼎盛时期达到72盘。绣江水磨主要由三部分组成，最上面是两起石磨，直径均在1.5米左右，每起约重一吨，上起由绳索固定不动，下起由立轴连接转动。立轴为中间部分，上连石磨，下连水轮，水轮上有多根迎着水流方向的轮辐，均为木板构成，水轮是用柳木或槐木特制，以求常年浸泡不变形。绣江水磨因所处地势不同，水位差距很大，水磨的转速也相差甚远。转速最快、产量最高的是金盘水磨，昼夜产香末800斤。一般水磨昼夜产香末400斤左右。
| 当时，章丘香末驰名省内外。 后来，香被认为是一种封建迷信用品，需求一落千丈，绣江水磨好景不再。
| 随着时间的推移，彻底失去了用场。
| 那数吨重的磨盘，被遗弃在墙角屋后，浑身遍布灰尘和青苔，犹如一位历尽沧桑的长者在娓娓诉说着过去的故事。
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Published on:20:55:22
